logo
  • Proces
  • Case studies
  • Blog
  • O nas
Napisz do nas
  1. Strona główna

  2. /

    Blog

  3. /

    Ciąg Fibonacciego — wyjaśnienie pojęcia i przykłady zastosowania.

Ciąg Fibonacciego — wyjaśnienie pojęcia i przykłady zastosowania.

Back-end

4 minuty czytania

Tomasz Kozon

11 paź 2022

pythonsqlscikit-learn

Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb naturalnych, który zaczyna się od 0 i 1, a każda kolejna liczba jest sumą dwóch poprzednich. Ciąg ten został opisany przez włoskiego matematyka Leonardo Fibonacciego w XII wieku.

Spis treści

Tajemniczy ciąg Fibonacciego i złota liczba

Ciąg Fibonacciego – jakie ma zastosowanie?

FAQ – najczęstsze pytania dotyczące ciąg Fibonacciego

Ciąg Fibonacciego

Powiązane case studies

SAO Life - aplikacja lojalnościowa dla klientów marki premium

Mobile development, Web development

Automatyzacja procesu wynajmu kontenerów i self-storage dla Balticon S.A.

Web development, UX/UI, E-commerce, SEO

Pokaż wszystkie case study

Umów się na bezpłatną konsultację

Twoje dane przetwarzamy zgodnie z naszą polityką prywatności.

Ciąg Fibonacciego to jedno z ciekawszych zagadnień matematycznych. Nie jest on tylko dziełem wyobraźni matematyków, ale można go zauważyć w biologii czy zjawiskach przyrodniczych. Znajduje także zastosowanie w architekturze, muzyce, a także na rynkach finansowych oraz w tworzeniu nowoczesnych technologii.

 

Tajemniczy ciąg Fibonacciego i złota liczba

Leonardo z Pizy, o przydomku Fibonacci, to włoski matematyk, któremu powszechnie przypisuje się „odkrycie” wyjątkowego ciągu liczb w dziele Liber abaci pochodzącym z 1202 roku, w którym omówił go w kontekście rozmnażania się królików. Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb naturalnych, z których każda kolejna liczba jest określona rekurencyjnie, czyli jest zależna od poprzednich. Pierwsza liczba ciągu to F0 = 0, a druga F1 = 1, z kolei każda kolejna jest sumą dwóch poprzednich:

F2 = 0+1 = 1

F3 = 1+1 = 2

F4 = 2+1 = 3

F5 = 3+2 = 5

F6 = 5+3 = 8

F7 = 8+5 = 13

F8 = 8+13 = 21

F9 = 13+21 = 34

…

 

 

Najciekawsze jest to, że ciąg Fibonacciego ma ogromny związek ze złotą liczbą. Złota liczba oznacza podział odcinka na dwie części w bardzo specyficzny sposób: stosunek długości dłuższego odcinka do krótszego musi jest równy stosunkowi całego odcinka do dłuższego odcinka.

Ciąg Fibonacciego

Jest to tak zwany złoty podział i określany jest przez tzw. złotą liczbę oznaczaną gracką literę φ (czyt. „fi”), której wartość wynosi 1,61803398875... Dzieląc kolejne liczby ze złotego ciągu przez poprzednią otrzymamy liczby coraz bliższe złotej liczbie.

Ciąg Fibonaciego

Bazując na złotej liczbie, możemy otrzymać złoty prostokąt, którego boki pozostają do siebie w stosunku złotej proporcji:

Ciąg Fibonacciego prostokąt

Możemy również skonstruować złoty kąt, czyli kąt środkowy oparty na mniejszym z dwóch łuków powstałych w wyniku złotego podziału okręgu. Jego miara w przybliżeniu wynosi 137,5 stopnia.

Ciąg Fibonacciego łuk

Czy szukasz wykonawcy projektów IT ?
logo
Sprawdź case studies

Ciąg Fibonacciego – jakie ma zastosowanie?

Ciąg Fibonacciego oraz złota liczba pojawią się w przyrodzie, kosmosie, anatomii ludzkiego ciała, architekturze, inżynierii, sztuce, muzyce czy fizyce. Ruchy fal, huragany, skorupy ślimaków i małż, rogi muflonów, płatki roślin, galaktyki spiralne, a u wielu roślin w kolejnych latach na poszczególnych poziomach ich wzrostu liczba odgałęzień oraz liczba liści są odzwierciedleniem liczb Fibonacciego.

Jak się jednak okazuje owo „odkrycie” ciągu oznaczało jedynie wprowadzenie tego pojęcia do europejskiej matematyki nowożytnej. Istnieją bowiem pisma indyjskie zapisanie w sanskrycie pochodzące z III i II wieku p.n.e., które potwierdzają fakt, że ciąg Fibonacciego był już wówczas znany. Samą zasadę złotej proporcji znali starożytni Egipcjanie, opierając na niej budowę piramid. Także starożytni Grecy tworzyli swoje świątynie z prostokątów, które zbudowane są w oparciu o złoty podział np. Partenon. Liczby Fibonacciego i złotą proporcję wykorzystywali w architekturze także nowożytni, budując np.: wieżę Eiffla, Katedrę Notre Dame czy Tadż Mahal. To właśnie dzięki złotej proporcji budowle te mają być odbierane jako harmonijne i doskonałe w swojej formie. Sam Leonardo da Vinci wykorzystywał złotą proporcję do tworzenia swoich obrazów, takich jak: Mona Lisa, Ostatnia Wieczerza, Narodziny Wenus czy marmurowa rzeźba Wenus z Milo. Wykorzystał ją, tworząc słynnego człowieka witariańskiego, którego części ciała dążą do zachowania złotej proporcji. Ze złotej proporcji czerpali także najwięksi kompozytorzy muzyki klasycznej — kolejne nuty były zapisywane jako kolejne liczby ciągu Fibonacciego, dzięki czemu powstały najbardziej znane harmonijne utwory.

Ciąg Fibonacciego i złoty podział wykorzystuje się także w projektach współczesnego świata. Szczególnie upodobali je sobie projektanci i graficy komputerowi, dlatego że właśnie projekty zbudowane w oparciu o nie najbardziej przypadają do gustu klientom. N podstawie proporcji złotego podziału zostały zaprojektowane wszystkie karty bankomatowe, prawo jazdy czy dowód osobisty. Z ciągu Fibonacciego korzystają także największe firmy, które złoty podział mają zawarty w swoim logo: Toyota, BP, PZU, Pepsi czy National Geographic. Złoty podział i liczby Fibonacciego wykorzystane są w projektach stron internetowych czy samochodów osobowych. Ciąg Fibonacciego w pełni docenił światowy gigant, jakim jest Apple, tworząc urządzenia elektroniczne oraz swoje logo, które uchodzą za wyjątkowo estetyczne i harmonijne dzięki temu, że oparte zostały o złoty podział. Także finansiści dostrzegli prawidłowości występujące na giełdzie oparte na liczbach Fibonacciego. Według niektórych długość przedziałów czasowych wyznaczających zachowanie cen akcji na rynku zachowują się jak kolejne liczby tego ciągu.

 

FAQ – najczęstsze pytania dotyczące ciąg Fibonacciego

1. Czym jest ciąg Fibonacciego?

Ciąg Fibonacciego to sekwencja liczb, w której każda liczba (od trzeciej w górę) jest sumą dwóch poprzednich. Zaczyna się od 0 i 1, czyli: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...

2. Kto odkrył ciąg Fibonacciego?

Ciąg ten został spopularyzowany przez włoskiego matematyka Leonarda z Pizy, znanego jako Fibonacci, w XIII wieku.

3. Jakie są zastosowania ciągu Fibonacciego w życiu codziennym?

Ciąg Fibonacciego pojawia się m.in. w przyrodzie (układ liści, rozmieszczenie nasion), architekturze, sztuce, a nawet w finansach (analiza techniczna rynku).

4. Czy ciąg Fibonacciego ma zastosowanie w informatyce?

Tak, ciąg Fibonacciego bywa wykorzystywany w algorytmach rekurencyjnych, strukturach danych (np. kopce Fibonacciego), a także jako przykład do nauki programowania.

5. Czy ciąg Fibonacciego ma coś wspólnego ze złotą proporcją?

Tak, stosunek kolejnych liczb ciągu Fibonacciego zbliża się do tzw. złotej liczby (phi ≈ 1.618), co ma duże znaczenie w sztuce i architekturze.

Nasza oferta

Web development

Dowiedz się więcej

Mobile development

Dowiedz się więcej

E-commerce

Dowiedz się więcej

Projektowanie UX/UI

Dowiedz się więcej

Outsourcing

Dowiedz się więcej

SEO

Dowiedz się więcej

Powiązane artykuły

Czym jest FashionTech? Rewolucja na styku mody i technologii

31 lip 2025

Moda wchodzi w nową erę – erę, w której tkaniny łączą się z sensorami, projektanci współpracują z algorytmami, a przymierzalnie przenoszą się do wirtualnych światów. FashionTech, czyli połączenie mody i technologii, nie jest już wizją przyszłości, lecz realną transformacją całej branży. Dzięki innowacjom zmienia się sposób projektowania, produkcji, sprzedaży i konsumpcji odzieży.

Tomasz Kozon
#ai
related-article-image-designer, sukienka, FashionTech

MedTech i cyfrowa transformacja sektora opieki zdrowotnej

19 lip 2025

Cyfrowa transformacja zmienia oblicze opieki zdrowotnej na całym świecie. Technologie medyczne (MedTech) nie tylko usprawniają pracę lekarzy i personelu medycznego, ale też podnoszą jakość i dostępność usług dla pacjentów. Od telemedycyny, przez sztuczną inteligencję, po zdalne monitorowanie zdrowia – nowoczesne rozwiązania stają się nieodłączną częścią współczesnej medycyny.

Tomasz Kozon
#ai

RetailTech – nowa era zakupów i doświadczeń klientów

12 lip 2025

RetailTech to dynamicznie rozwijająca się dziedzina, która na nowo definiuje sposób, w jaki robimy zakupy i wchodzimy w interakcje z markami. W dobie rosnących oczekiwań klientów i szybkiego rozwoju technologii, tradycyjny handel przechodzi transformację w kierunku cyfrowych, zintegrowanych doświadczeń. Innowacje takie jak sztuczna inteligencja, Internet Rzeczy czy automatyzacja procesów stają się kluczowymi elementami przewagi konkurencyjnej.

Tomasz Kozon
#ai

OpenAI Codex CLI: Programowanie z pomocą sztucznej inteligencji

2 cze 2025

Sztuczna inteligencja coraz śmielej wkracza w świat programowania, oferując nowe sposoby pracy z kodem. Jednym z najbardziej obiecujących narzędzi w tym obszarze jest OpenAI Codex CLI - interfejs wiersza poleceń, który pozwala tworzyć, analizować i modyfikować kod przy pomocy języka naturalnego.

Tomasz Kozon
#ai

Appwrite: wielofunkcyjna platforma do tworzenia aplikacji Backend-as-a-Service

9 maj 2025

Przygoda z tworzeniem aplikacji nigdy nie była prostsza, dzięki Appwrite - nowoczesnej, wielofunkcyjnej platformie Backend-as-a-Service. Co sprawia, że Appwrite wyróżnia się na tle innych rozwiązań typu BaaS? Czy dostosowana do potrzeb developerów funkcjonalność to klucz do sukcesu? Sprawdźmy.

Tomasz Kozon
#back-end

Directus CMS: Wprowadzenie do headless CMS

6 maj 2025

Directus to nowoczesny headless CMS, który umożliwia zarządzanie treścią w sposób elastyczny i niezależny od warstwy prezentacji. Dzięki podejściu API-first idealnie nadaje się do projektów, które wymagają wielokanałowej publikacji treści – od stron internetowych po aplikacje mobilne.

Tomasz Kozon
#business-intelligence

Google App Engine: Czym jest i jak działa?

5 maj 2025

Google App Engine to chmurowa platforma dostarczana przez Google, umożliwiająca deweloperom tworzenie, uruchamianie i rozwój aplikacji w zasobach Google. Znane również jako platforma 'Platform as a Service'(PaaS) oferuje skalowalne narzędzia i usługi, by efektywnie zarządzać pełnym cyklem życia aplikacji. Zrozumienie, jak funkcjonuje, może przynieść duże korzyści dla twojego projektu IT.

Tomasz Kozon
#back-end

Zobacz wszystkie artykuły powiązane z #Back-end

Boring Owl Logo

Napisz do nas

Zadzwoń

+48 509 280 539

Oferta

  • Web Development

  • Mobile Development

  • UI/UX Design

  • E-commerce

  • Outsourcing

  • SEO

Menu

  • O nas

  • Case studies

  • FAQ

  • Blog

  • Kariera

  • Kontakt

Software House

  • Software House Warszawa

  • Software House Katowice

  • Software House Lublin

  • Software House Kraków

  • Software House Wrocław

  • Software House Łódź

 

  • Software House Poznań

  • Software House Gdańsk

  • Software House Białystok

  • Software House Gliwice

  • Software House Trójmiasto

Agencje SEO

  • Agencja SEO Warszawa

  • Agencja SEO Kraków

  • Agencja SEO Wrocław

  • Agencja SEO Poznań

  • Agencja SEO Gdańsk

  • Agencja SEO Toruń

© 2025 – Boring Owl – Software House Warszawa

  • adobexd logo
    adobexd
  • algolia logo
    algolia
  • amazon-s3 logo
    amazon-s3
  • android logo
    android
  • angular logo
    angular
  • api logo
    api
  • apscheduler logo
    apscheduler
  • argocd logo
    argocd
  • astro logo
    astro
  • aws-amplify logo
    aws-amplify
  • aws-cloudfront logo
    aws-cloudfront
  • aws-lambda logo
    aws-lambda
  • axios logo
    axios
  • azure logo
    azure
  • bash logo
    bash
  • bootstrap logo
    bootstrap
  • bulma logo
    bulma
  • cakephp logo
    cakephp
  • celery logo
    celery
  • chartjs logo
    chartjs
  • clojure logo
    clojure
  • cloudflare logo
    cloudflare
  • cloudinary logo
    cloudinary
  • cms logo
    cms
  • cobol logo
    cobol
  • contentful logo
    contentful
  • coolify logo
    coolify
  • cpython logo
    cpython
  • css3 logo
    css3
  • django logo
    django
  • django-rest logo
    django-rest
  • docker logo
    docker
  • drupal logo
    drupal
  • dynamodb logo
    dynamodb
  • elasticsearch logo
    elasticsearch
  • electron logo
    electron
  • expo-io logo
    expo-io
  • express-js logo
    express-js
  • fakerjs logo
    fakerjs
  • fastapi logo
    fastapi
  • fastify logo
    fastify
  • figma logo
    figma
  • firebase logo
    firebase
  • flask logo
    flask
  • flutter logo
    flutter
  • gatsbyjs logo
    gatsbyjs
  • ghost-cms logo
    ghost-cms
  • google-cloud logo
    google-cloud
  • graphcms logo
    graphcms
  • graphql logo
    graphql
  • groovy logo
    groovy
  • gtm logo
    gtm
  • gulpjs logo
    gulpjs
  • hasura logo
    hasura
  • headless-cms logo
    headless-cms
  • heroku logo
    heroku
  • html5 logo
    html5
  • httpie logo
    httpie
  • i18next logo
    i18next
  • immutablejs logo
    immutablejs
  • imoje logo
    imoje
  • ios logo
    ios
  • java logo
    java
  • javascript logo
    javascript
  • jekyll logo
    jekyll
  • jekyll-admin logo
    jekyll-admin
  • jenkins logo
    jenkins
  • jquery logo
    jquery
  • json logo
    json
  • keras logo
    keras
  • keystone5 logo
    keystone5
  • kotlin logo
    kotlin
  • kubernetes logo
    kubernetes
  • laravel logo
    laravel
  • lodash logo
    lodash
  • magento logo
    magento
  • mailchimp logo
    mailchimp
  • material-ui logo
    material-ui
  • matlab logo
    matlab
  • maven logo
    maven
  • miro logo
    miro
  • mockup logo
    mockup
  • momentjs logo
    momentjs
  • mongodb logo
    mongodb
  • mysql logo
    mysql
  • nestjs logo
    nestjs
  • net logo
    net
  • netlify logo
    netlify
  • next-js logo
    next-js
  • nodejs logo
    nodejs
  • npm logo
    npm
  • nuxtjs logo
    nuxtjs
  • oracle logo
    oracle
  • pandas logo
    pandas
  • php logo
    php
  • postgresql logo
    postgresql
  • postman logo
    postman
  • prestashop logo
    prestashop
  • prettier logo
    prettier
  • prisma logo
    prisma
  • prismic logo
    prismic
  • prose logo
    prose
  • pwa logo
    pwa
  • python logo
    python
  • python-scheduler logo
    python-scheduler
  • rabbitmq logo
    rabbitmq
  • react-flow logo
    react-flow
  • react-hook-form logo
    react-hook-form
  • react-js logo
    react-js
  • react-native logo
    react-native
  • react-query logo
    react-query
  • react-static logo
    react-static
  • redis logo
    redis
  • redux logo
    redux
  • redux-persist logo
    redux-persist
  • redux-saga logo
    redux-saga
  • redux-thunk logo
    redux-thunk
  • relume logo
    relume
  • restful logo
    restful
  • ruby-on-rails logo
    ruby-on-rails
  • rust logo
    rust
  • rxjs logo
    rxjs
  • saleor logo
    saleor
  • sanity logo
    sanity
  • scala logo
    scala
  • scikit-learn logo
    scikit-learn
  • scrapy logo
    scrapy
  • scrum logo
    scrum
  • selenium logo
    selenium
  • sentry logo
    sentry
  • shodan logo
    shodan
  • shopify logo
    shopify
  • slack logo
    slack
  • sms-api logo
    sms-api
  • socket-io logo
    socket-io
  • solidity logo
    solidity
  • spring logo
    spring
  • sql logo
    sql
  • sql-alchemy logo
    sql-alchemy
  • storyblok logo
    storyblok
  • storybook logo
    storybook
  • strapi logo
    strapi
  • stripe logo
    stripe
  • structured-data logo
    structured-data
  • struts logo
    struts
  • styled-components logo
    styled-components
  • supabase logo
    supabase
  • svelte logo
    svelte
  • swagger logo
    swagger
  • swift logo
    swift
  • symfony logo
    symfony
  • tailwind-css logo
    tailwind-css
  • tensorflow logo
    tensorflow
  • terraform logo
    terraform
  • threejs logo
    threejs
  • twig logo
    twig
  • typescript logo
    typescript
  • vercel logo
    vercel
  • vue-js logo
    vue-js
  • webflow logo
    webflow
  • webpack logo
    webpack
  • websocket logo
    websocket
  • woocommerce logo
    woocommerce
  • wordpress logo
    wordpress
  • yarn logo
    yarn
  • yii logo
    yii
  • zend logo
    zend
  • zeplin logo
    zeplin
  • zustand logo
    zustand